*时谐场

E⃗=E⃗(x⃗)e−iωt\vec{E} = \vec{E}(\vec{x}) e^{-i\omega t}

H⃗=H⃗(x⃗)e−iωt\vec{H} = \vec{H}(\vec{x}) e^{-i\omega t}

复振幅满足频域Maxwell方程组

∇×E⃗=−iωB⃗∇×H⃗=J⃗−iωD⃗∇⋅D⃗=ρ∇⋅B⃗=0\begin{aligned} &\nabla \times \vec{E} = -i\omega \vec{B} \\ &\nabla \times \vec{H} = \vec{J} - i\omega \vec{D} \\ &\nabla \cdot \vec{D} = \rho \\ &\nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{aligned}

复数Poynting矢量

S⃗~=12E⃗×H⃗∗\widetilde{\vec{S}} = \frac{1}{2}\vec{E} \times \vec{H}^*

⟨S⃗⟩=Re{S⃗~}\langle \vec{S} \rangle = Re\{\widetilde{\vec{S}}\}

复数Poynting定理

−∇⋅S⃗~=12⋅(E⃗×H⃗∗)=−12∇E⋅(E⃗×H⃗∗)−12∇H⋅(E⃗×H⃗∗)=−12(∇×E⃗)⋅H⃗∗+12(∇×H⃗∗)⋅E⃗=−12iωB⃗⋅H⃗∗+12(J⃗∗−iωD⃗∗)⋅E⃗=−iω2B⃗⋅H⃗∗+iω2E⃗⋅D⃗∗+12E⃗⋅J⃗∗\begin{aligned} -\nabla \cdot \widetilde{\vec{S}} &= \frac{1}{2} \cdot \left(\vec{E} \times \vec{H}^* \right) \\ &= -\frac{1}{2} \nabla_E \cdot (\vec{E} \times \vec{H}^*) - \frac{1}{2} \nabla_H \cdot (\vec{E} \times \vec{H}^*)\\ &= -\frac{1}{2} (\nabla \times \vec{E})\cdot \vec{H}^* + \frac{1}{2} (\nabla \times \vec{H}^*)\cdot \vec{E}\\ &= -\frac{1}{2} i\omega \vec{B} \cdot \vec{H}^* + \frac{1}{2} (\vec{J}^* - i\omega \vec{D}^*)\cdot \vec{E}\\ &= -\frac{i\omega}{2} \vec{B} \cdot \vec{H}^* + \frac{i\omega}{2} \vec{E} \cdot \vec{D}^* + \frac{1}{2} \vec{E}\cdot \vec{J}^*\\ \end{aligned}

定义复数电场能量密度：

We~=E⃗⋅D⃗∗4\widetilde{W_e} = \frac{\vec{E} \cdot \vec{D}^*}{4}

磁场能量密度

Wm~=B⃗⋅H⃗∗4\widetilde{W_m} = \frac{\vec{B} \cdot \vec{H}^*}{4}

⟨We⟩=Re{E⃗⋅D⃗∗4},⟨Wm⟩=Re{B⃗⋅H⃗∗4}\langle W_e \rangle = Re\{\frac{\vec{E} \cdot \vec{D}^*}{4}\}, \langle W_m \rangle = Re\{\frac{\vec{B} \cdot \vec{H}^*}{4}\}

−∇⋅S⃗~=i2ω(We~−Wm~)+E⃗⋅J⃗∗2-\nabla \cdot \widetilde{\vec{S}} = i2\omega(\widetilde{W_e} - \widetilde{W_m}) + \frac{\vec{E} \cdot \vec{J}^*}{2}

复数Poynting定理

We~=E⃗⋅D⃗∗4,D⃗=εE⃗=(ε′+iε′′)E⃗\widetilde{W_e} = \frac{\vec{E} \cdot \vec{D}^*}{4}, \vec{D} = \varepsilon \vec{E} = (\varepsilon' + i\varepsilon'') \vec{E}

We~=ε′∣E⃗∣24−iε′′∣E⃗∣24\widetilde{W_e} = \frac{\varepsilon' |\vec{E}|^2}{4} - \frac{i\varepsilon'' |\vec{E}|^2}{4}

Wm~=B⃗⋅H⃗∗4,B⃗=μH⃗=(μ′+iμ′′)H⃗\widetilde{W_m} = \frac{\vec{B} \cdot \vec{H}^*}{4}, \vec{B} = \mu \vec{H} = (\mu' + i\mu'') \vec{H}

Wm~=μ′∣H⃗∣24+iμ′′∣H⃗∣24\widetilde{W_m} = \frac{\mu' |\vec{H}|^2}{4} + \frac{i\mu'' |\vec{H}|^2}{4}

−∇⋅⟨S⃗⟩=ωε′′2∣E⃗∣2+ωμ′′2∣H⃗∣2+Re{E⃗⋅J⃗∗2}-\nabla \cdot \langle \vec{S} \rangle = \frac{\omega \varepsilon''}{2} |\vec{E}|^2 + \frac{\omega \mu''}{2} |\vec{H}|^2 + Re\{\frac{\vec{E} \cdot \vec{J}^*}{2}\}

其中第一项为极化损耗，第二项为磁化损耗，第三项为焦耳热

*时变电磁场

我们主要考察时变电磁场的**辐射（ρ≠0,J⃗≠0\rho \neq 0, \vec{J} \neq 0）和传播（ρ=0,J⃗=0\rho = 0, \vec{J} = 0）**问题（尤其是传播问题）

*时域分析电磁场传播

当ρ=0,J⃗=0\rho = 0,\vec{J} = 0时，时域Maxwell方程组为

∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×H⃗=∂D⃗∂t∇⋅D⃗=0∇⋅B⃗=0\begin{aligned} &\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ &\nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ &\nabla \cdot \vec{D} = 0 \\ &\nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{aligned}

真空中，D⃗=ε0E⃗,B⃗=μ0H⃗\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}, \vec{B} = \mu_0 \vec{H}（下面的结果均依赖于这里的简单介质性质）
对方程组的第一个方程取旋度

∇×(∇×E⃗)=−∂∂t(∇×B⃗)∇(∇⋅E⃗)−∇2E⃗=−∂∂t(∇×B⃗)∇2E⃗−μ0ε0∂2E⃗∂t2=0∇2E⃗−1c2∂2E⃗∂t2=0\begin{aligned} \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{B}) \\ \nabla(\nabla\cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{B}) \\ \nabla^2 \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} &= 0 \\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} &= 0 \end{aligned}

最后一个方程就是波动方程

一维波动方程：

∂2A∂x2−1c2∂2A∂t2=0\frac{\partial^2 A}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 A}{\partial t^2} = 0

也即

A(x,t)=f(x±ct)A(x,t) = f(x \pm ct)

但是如果考虑色散介质的情况，从时域上分析，问题会复杂得多

*频域分析电磁场传播

为了解决上面的问题，我们引入频域分析方法

对于时谐场

∇×E⃗=−iωB⃗∇×H⃗=−iωD⃗∇⋅D⃗=0∇⋅B⃗=0\begin{aligned} &\nabla \times \vec{E} = -i\omega \vec{B} \\ &\nabla \times \vec{H} = - i\omega \vec{D} \\ &\nabla \cdot \vec{D} = 0 \\ &\nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{aligned}

前两条方程保证了后两条方程成立
因此我们考虑将第一条方程代入第二条方程

B⃗=1iω∇×E⃗\vec{B} = \frac{1}{i\omega} \nabla \times \vec{E}

1iωμ∇×(∇×E⃗)=−iωεE⃗\frac{1}{i\omega \mu} \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -i\omega \varepsilon \vec{E}

1iωμ[∇(∇⋅E⃗)−∇2E⃗]=−iωεE⃗\frac{1}{i\omega \mu}\left[\nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E}\right] = -i\omega \varepsilon \vec{E}

最终我们得到

∇2E⃗+k2E⃗=0,(k=ωμε)∇⋅E⃗=0H⃗=1iωμ∇×E⃗\begin{aligned} &\nabla^2 \vec{E} + k^2 \vec{E} = 0, (k=\omega \sqrt{\mu \varepsilon})\\ &\nabla \cdot \vec{E} = 0\\ &\vec{H} = \frac{1}{i\omega \mu} \nabla \times \vec{E} \end{aligned}

亦等价于

∇2H⃗+k2H⃗=0,(k=ωμε)∇⋅H⃗=0E⃗=1iωμ∇×H⃗\begin{aligned} &\nabla^2 \vec{H} + k^2 \vec{H} = 0, (k=\omega \sqrt{\mu \varepsilon})\\ &\nabla \cdot \vec{H} = 0\\ &\vec{E} = \frac{1}{i\omega \mu} \nabla \times \vec{H} \end{aligned}

上面的结果被称为Helmholtz方程

*均匀平面波

当μ\mu和ε\varepsilon为实数时（介质无损）
考虑如下形式的解：

E⃗(x⃗)=E⃗0eik⃗⋅x⃗，(∣k⃗∣=k)\vec{E}(\vec{x}) = \vec{E}_0 e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}，(|\vec{k}| = k)

可验证其满足之前的Helmholtz方程

电磁波完整的复指数形式为

E⃗(x⃗,t)=E⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt)\vec{E}(\vec{x},t) = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)}

  • k⃗\vec{k}为波矢，k^\hat{k}为相位传播方向，k为相位传播常数
  • 取k⃗\vec{k}的方向为z轴，则相位可表示为ϕ=kz−ωt\phi = kz - \omega t
    等相位面为垂直于z轴（波矢方向）的平面
    等相位面上的振幅都相等。
    因此我们将上面所述的波成为均匀平面波
    相位传播速度：
    对于某个ϕ\phi的取值：

kdz−ωdt=0kdz-\omega dt = 0

dzdt=ωk=VP\frac{dz}{dt} = \frac{\omega}{k} = V_P

V⃗P=ωkk^=1μεk^\vec{V}_P = \frac{\omega}{k} \hat{k} = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} \hat{k}

称为相速度

  • 相速度折射率：

nP=cVP=μrεrn_P = \frac{c}{V_P} = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}

在绝大多数情况下有μr=1\mu_r = 1，因此nP≈εrn_P \approx \sqrt{\varepsilon_r}

  • 波长：λ=2πk\lambda = \frac{2\pi}{k}
  • ∇⋅E⃗=0\nabla \cdot \vec{E} = 0

∇⋅(E⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt))=0\nabla \cdot (\vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)}) = 0

ik⃗⋅E⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt)=0i\vec{k}\cdot\vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)} = 0

k⃗⋅E⃗0=0\vec{k}\cdot\vec{E}_0 = 0

即E⃗0\vec{E}_0与k⃗\vec{k}垂直

H⃗=1iωμ∇×E⃗=1iωμ∇×(E⃗0ei(k⃗⋅x⃗))=1iωμ∇×(E⃗0ei(k⃗⋅x⃗))=εμE⃗0×k^ei(k⃗⋅x⃗−ωt)=k^×E⃗0ηei(k⃗⋅x⃗)⇒H⃗⊥E⃗⊥k^\begin{aligned} \vec{H} &= \frac{1}{i\omega \mu} \nabla \times \vec{E} = \frac{1}{i\omega \mu} \nabla \times (\vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} )})\\ &= \frac{1}{i\omega \mu} \nabla \times (\vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} )})\\ &= \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} \vec{E}_0 \times \hat{k} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)}\\ &= \hat{k} \times \frac{\vec{E}_0}{\eta} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x})} \Rightarrow \vec{H} \perp \vec{E} \perp \hat{k} \end{aligned}

对于E⃗,H⃗\vec{E},\vec{H}只有与k⃗\vec{k}垂直的分量，我们称之为横波
η\eta为波阻抗，η=με\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}，在真空中有η0≈377Ω\eta_0 \approx 377 \Omega

  • 平均电场能量密度：

⟨We⟩=Re{E⃗⋅D⃗∗4}=ε∣E⃗0∣24\langle W_e \rangle = Re\left\{\frac{\vec{E} \cdot \vec{D}^*}{4}\right\} = \frac{\varepsilon|\vec{E}_0|^2}{4}

平均磁场能量密度：

⟨Wm⟩=Re{H⃗⋅B⃗∗4}=μ∣H⃗0∣24=∣E⃗0∣24η02=ε∣E⃗0∣24\langle W_m \rangle = Re\left\{\frac{\vec{H} \cdot \vec{B}^*}{4}\right\} = \frac{\mu|\vec{H}_0|^2}{4} = \frac{|\vec{E}_0|^2}{4\eta_0^2} = \frac{\varepsilon|\vec{E}_0|^2}{4}

可以看到⟨We⟩=⟨Wm⟩\langle W_e \rangle = \langle W_m \rangle

总平均电磁能量密度

⟨Wem⟩=⟨We⟩+⟨Wm⟩=ε∣E⃗0∣22\langle W_{em} \rangle = \langle W_e \rangle + \langle W_m \rangle = \frac{\varepsilon|\vec{E}_0|^2}{2}

  • 平均能流：

⟨S⃗⟩=12Re{E⃗×H⃗∗}=∣E⃗0∣22ηk^\langle \vec{S} \rangle = \frac{1}{2} Re\left\{\vec{E} \times \vec{H}^* \right\} = \frac{|\vec{E}_0|^2}{2\eta} \hat{k}

能量传播速度：

V⃗e=⟨S⃗⟩⟨Wem⟩=1μεk^\vec{V}_e = \frac{\langle \vec{S} \rangle}{\langle W_{em} \rangle} = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} \hat{k}

  • 偏振（极化）
    对于E⃗=E⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt)\vec{E} = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)}

E⃗=E⃗0ei(k⃗⋅x⃗−ωt)=E0xeiϕxei(k⃗⋅x⃗−ωt)e^x+E0yeiϕyei(k⃗⋅x⃗−ωt)e^y\begin{aligned} \vec{E} &= \vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)}\\ &= E_{0x}e^{i\phi_x}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)} \hat{e}_x + E_{0y}e^{i\phi_y}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)} \hat{e}_y\\ \end{aligned}

瞬时值电场：
x方向：

Ex=E0xcos⁡(k⃗⋅x⃗−ωt+ϕx)E_x = E_{0x} \cos(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t + \phi_x)

y方向：

Ey=E0ycos⁡(k⃗⋅x⃗−ωt+ϕy)E_y = E_{0y} \cos(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t + \phi_y)

在某一z处，迎着波的传播方向看，电场矢量端点描绘的轨迹满足

(ExE0x)2+(EyE0y)2−2ExE0xEyE0ycos⁡(ϕy−ϕx)=sin⁡2(ϕy−ϕx)\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)^2 + \left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2 - 2\frac{E_x}{E_{0x}}\frac{E_y}{E_{0y}}\cos(\phi_y - \phi_x) = \sin^2(\phi_y - \phi_x)

此公式在本课程中不要求
考虑Δϕ=ϕy−ϕx\Delta \phi = \phi_y - \phi_x

  • 线偏振：Δϕ=0或π\Delta \phi = 0或\pi
  • 圆偏振：Δϕ=±π2\Delta \phi = \pm \frac{\pi}{2}，其中Δϕ=π2\Delta \phi = \frac{\pi}{2}为右旋圆偏振（左旋圆极化），Δϕ=−π2\Delta \phi = -\frac{\pi}{2}为左旋圆偏振（右旋圆极化）
  • 椭圆偏振：其他情况

以上结果均仅针对均匀平面波