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直角坐标系分离变量 求解如下边值问题： 在一沿xyz轴长度分别为abc的长方体中，只有一个面上电势不为零 ∇2φ=0φ∣z=c=f(x,y)φx=0=φx=a=0φy=0=φy=b=0φz=0=0\begin{aligned} &\nabla^2 \varphi = 0 \\ &\varphi |_{z=c} = f(x,y)\\ &\varphi_{x=0} = \varphi_{x=a} = 0\\ &\varphi_{y=0} = \varphi_{y=b} = 0\\ &\varphi_{z=0} = 0 \end{aligned} ​∇2φ=0φ∣z=c​=f(x,y)φx=0​=φx=a​=0φy=0​=φy=b​=0φz=0​=0​ 解：考虑如下可分离变量的形式的解 φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)\varphi(x,y,z) =...

介质中的Maxwell方程组 ∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×B⃗=μ0(J⃗f+J⃗μ+J⃗p)+μ0ε0∂E⃗∂t∇⋅E⃗=ρf+ρpε0∇⋅B⃗=0\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \nabla \times \vec{B} = \mu_0(\vec{J}_f + \vec{J}_\mu + \vec{J}_p) + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\\ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho_f + \rho_p}{\varepsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} = 0\\ ∇×E=−∂t∂B​∇×B=μ0​(Jf​+Jμ​+Jp​)+μ0​ε0​∂t∂E​∇⋅E=ε0​ρf​+ρp​​∇⋅B=0 新定义 电位移矢量 D⃗=ε0E⃗+P⃗\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} +...

Sample Space, Event and Probability (Ω,Σ,P)(\Omega,\Sigma,P)(Ω,Σ,P) is a probability space, where Ω\OmegaΩ is the sample space, Σ\SigmaΣ is the event space, and PPP is the probability measure. Σ\SigmaΣ should satisfy: ①Σ⊂2Ω②Σ is a σ-algebra\begin{aligned} & ① \Sigma \subset 2^{\Omega}\\ & ② \Sigma \text{ is a $\sigma$-algebra}\\ \end{aligned} ​①Σ⊂2Ω②Σ is a σ-algebra​ XXX is a random variable, which is a function from Ω\OmegaΩ to R\mathbb{R}R, i.e. X:Ω→RX:\Omega \rightarrow...

电荷 分为+，-两种属性 量子化，元电荷e≈1.6×10−19Ce \approx 1.6\times 10^{-19}Ce≈1.6×10−19C 电荷量守恒 电荷的形态 点电荷：电荷大小qqq 线电荷：电荷线密度ρl=lim⁡Δl→0ΔqΔl\rho_l = \lim_{\Delta l \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta l}ρl​=limΔl→0​ΔlΔq​ 面电荷：电荷面密度ρs=lim⁡ΔS→0ΔqΔS\rho_s = \lim_{\Delta S \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta S}ρs​=limΔS→0​ΔSΔq​ 体电荷：电荷体密度ρv=lim⁡ΔV→0ΔqΔV\rho_v = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta V}ρv​=limΔV→0​ΔVΔq​ ΔV\Delta VΔV：“宏观小，微观大” 相对于问题求解区是宏观小 相对于微观带电粒子很大 点电荷的密度 ρ(r⃗)=qδ(r⃗−r⃗0)={∞r⃗=r⃗00r⃗≠r⃗0\rho(\vec{r}) =...

概率公理 样本空间 Ω\OmegaΩ 包括了所有可能的结果 不确定度的度量：P:Σ→[0,1]P : \Sigma \rightarrow [0,1]P:Σ→[0,1]（以集合为自变量） 概率公理 非负性：P(A)≥0P(A) \geq 0P(A)≥0 规范性：P(Ω)=1,P(∅)=0P(\Omega) = 1, P(\emptyset) = 0P(Ω)=1,P(∅)=0 可数可加性：A,B∈Σ,A∩B=∅⇒P(A∪B)=P(A)+P(B)A,B \in \Sigma, A\cap B = \emptyset \Rightarrow P(A\cup B) = P(A) + P(B)A,B∈Σ,A∩B=∅⇒P(A∪B)=P(A)+P(B) 可列可加性：A1,A2,⋯∈Σ,Ai∩Aj=∅⇒P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)A_1,A_2,\cdots \in \Sigma, A_i\cap A_j = \emptyset \Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) =...

矢量分析 叉乘（外积） a⃗×b⃗=c⃗=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| \\ a×b=c=​iax​bx​​j​ay​by​​kaz​bz​​​ 叉乘的结果有如下性质 ∣c⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ|\vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \\ ∣c∣=∣a∣∣b∣sinθ 也就是说，叉乘的结果是垂直于两个向量的一个向量，其大小等于两个向量围成的平行四边形的面积，其方向由右手法则确定。 另外还有 a⃗×b⃗=0⇔a⃗∥b⃗\vec{a} \times \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \parallel \vec{b}...

运放正反馈 这个实验做了很多，理解应该是比较深刻了的 正反馈存在解可能非唯一的问题。 在蓝色虚线区工作是不稳定的，物理上无法测出该区域，所以测量得到的是滞回曲线 正反馈和负反馈同时添加（通过负反馈让电路呆在线性区） 显然有1>F，负反馈占优，虚短虚断得到vOUT=0。 在线性区的时候，用加流求压求端口电阻得到负电阻（不能用加压求流） 有一定的约束 在饱和区的时候 同样加流求压，能够得到限制条件，以及电路抽象为戴维南源 看输入输出电压关系，每个电流都有唯一对应电压，认为是流控器件，测量的时候只能加测试电流。这里负反馈大于正反馈 加压的时候正反馈大于负反馈，运放呆不在线性区，

方程形式 位势方程主要是说 −Δu=f-\Delta u=f −Δu=f 其中Δ=∑i=1d∂2∂xi2\Delta = \sum^{d}_{i=1} \frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}Δ=∑i=1d​∂xi2​∂2​是Laplace算子，d为空间维数，f是源项，当f=0的时候方程又被称为Laplace方程或者调和方程。 Green公式和基本解 Green公式是说： 证明：由于 uΔv=u(∇⋅∇v)=∇⋅(u∇v)−∇u⋅∇vu \Delta v = u(\nabla \cdot \nabla v) = \nabla \cdot(u \nabla v) - \nabla u \cdot \nabla v uΔv=u(∇⋅∇v)=∇⋅(u∇v)−∇u⋅∇v （直接拆开就能得到） 所以有 uΔv−vΔu=∇⋅(u∇v−v∇u)u \Delta v - v \Delta u = \nabla \cdot(u \nabla v - v \nabla...

终于讲到大杀器了，为什么不早点讲啊 基本思路 大概就是说，我们可以简单认为之前的几种PDE的解具有如下形式 u(x,t)=X(x)T(t)u(x,t) = X(x)T(t) u(x,t)=X(x)T(t) 代回方程能够得到（比如一维波动方程） X(x)T′′(t)−a2X′′(x)T(t)=0X(x)T''(t) - a^2 X''(x)T(t) = 0 X(x)T′′(t)−a2X′′(x)T(t)=0 不妨转化为下面的形式 T′′(t)a2T(t)=X′′(x)X(x)=−λ\frac{T''(t)}{a^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda a2T(t)T′′(t)​=X(x)X′′(x)​=−λ λ\lambdaλ应该是固定的，所以解下面的特征值问题 X′′(x)+λX(x)=0X''(x) + \lambda X(x) =...

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