电磁场与波：期末复习
*时域Maxwell方程 ∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×H⃗=μ0J⃗+μ0ε0∂E⃗∂t∇⋅D⃗=rhoε0∇⋅B⃗=0\begin{aligned} &\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ &\nabla \times \vec{H} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \\ &\nabla \cdot \vec{D} = \frac{rho}{\varepsilon_0} \\ &\nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{aligned} ∇×E=−∂t∂B∇×H=μ0J+μ0ε0∂t∂E∇⋅D=ε0rho∇⋅B=0 *对于传播问题，ρ=0,J⃗=0\rho = 0,\vec{J} =...
电磁场与波：汇总
电磁场笔记汇总帖 （1）复习 Click （2）基本概念 Click （3）Maxwell方程（暂无） （4）介质中的Maxwell方程 Click （5）分离变量法初步（暂无） （6）进一步分离变量 Click 期中复习 Click （7）静磁场与时变问题 Click （8）动态场 Click （9）波的反射与折射 Click（内容残缺） （10）导体中的波 Click （11）波导 Click （12）辐射 Click 碎碎念 后半学期笔记残缺和错误比较多，发现问题可以想办法联系我，非常感谢
电磁场与波（12）：辐射问题
辐射 E⃗=−∇φ−∂A⃗∂t=14πε0∫[ρ(x⃗′,tr)r^r2+ρ˙(x⃗′,tr)cr−J⃗˙(x⃗′,tr)c2r]dV′\vec{E} = -\nabla \varphi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\left[\frac{\rho(\vec{x}',t_r)\hat{r}}{r^2} + \frac{\dot{\rho}(\vec{x}',t_r)}{cr} - \frac{\dot{\vec{J}}(\vec{x}',t_r)}{c^2r}\right]dV' E=−∇φ−∂t∂A=4πε01∫[r2ρ(x′,tr)r^+crρ˙(x′,tr)−c2rJ˙(x′,tr)]dV′ B⃗=∇×A⃗=μ04π∫[J⃗(x⃗′,tr)r2+J⃗˙(x⃗′,tr)cr]×r^dV′\vec{B} = \nabla \times \vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi}...
电磁场与波（11）：波导
*各种波导 常见的有矩形，圆形，同轴，平行双线，平板（微带线）等 *波导中的导波模式 一般取沿着波导的传播方向为z轴 E⃗=E⃗(x,y)eiβz\vec{E} = \vec{E}(x,y) e^{i \beta z} E=E(x,y)eiβz H⃗=H⃗(x,y)eiβz\vec{H} = \vec{H}(x,y) e^{i \beta z} H=H(x,y)eiβz 有两种解法 考虑 ∇×E⃗=iωμH⃗∇×H⃗=−iωεE⃗\begin{aligned} &\nabla \times \vec{E} = i \omega \mu \vec{H}\\ &\nabla \times \vec{H} = -i \omega \varepsilon \vec{E} \end{aligned} ∇×E=iωμH∇×H=−iωεE 使用纵横分解法（见教材） 考虑 ∇2E⃗+k2E⃗=0∇⋅E⃗=0H⃗=1iωμ∇×E⃗\begin{aligned} &\nabla^2 \vec{E} + k^2 \vec{E} = 0\\ &\nabla...
电磁场与波（10）：导电介质中的波
*导电介质 电荷与电流关系：∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\nabla \cdot \vec{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}∇⋅J=−∂t∂ρ 电流与电场关系：J⃗=σE⃗\vec{J} = \sigma \vec{E}J=σE σ∇⋅E⃗+∂ρ∂t=0\sigma \nabla \cdot \vec{E} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 σ∇⋅E+∂t∂ρ=0 电场与电荷满足： ∇⋅E⃗=ρε\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon} ∇⋅E=ερ 即 σερ+∂ρ∂t=0\frac{\sigma}{\varepsilon} \rho + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 εσρ+∂t∂ρ=0 ρ=ρ0e−σεt=ρ0e−tτ\rho = \rho_0 e^{-\frac{\sigma}{\varepsilon} t} = \rho_0...
电磁场与波（9）：波的一些性质
本次笔记均为OCR结果，仅供参考 均匀平面波在介质面的反射和折射 (入射波的波矢 ki⃗\vec{k_i}ki 位于 yOz 平面内) 入射波: Ei⃗=E0i⃗eiki⃗⋅r⃗=E0i⃗ei(kiyy+kizz)\vec{E_i} = \vec{E_{0i}} e^{i \vec{k_i} \cdot \vec{r}} = \vec{E_{0i}} e^{i(k_{iy} y + k_{iz} z)}Ei=E0ieiki⋅r=E0iei(kiyy+kizz) 反射波: Er⃗=E0r⃗eikr⃗⋅r⃗=E0r⃗ei(krxx+kryy+krzz)\vec{E_r} = \vec{E_{0r}} e^{i \vec{k_r} \cdot \vec{r}} = \vec{E_{0r}} e^{i(k_{rx} x + k_{ry} y + k_{rz} z)}Er=E0reikr⋅r=E0rei(krxx+kryy+krzz) 折射波: Et⃗=E0t⃗eikt⃗⋅r⃗=E0t⃗ei(ktxx+ktyy+ktzz)\vec{E_t}...
电磁场与波（8）：动态场
*时谐场 E⃗=E⃗(x⃗)e−iωt\vec{E} = \vec{E}(\vec{x}) e^{-i\omega t} E=E(x)e−iωt H⃗=H⃗(x⃗)e−iωt\vec{H} = \vec{H}(\vec{x}) e^{-i\omega t} H=H(x)e−iωt 复振幅满足频域Maxwell方程组 ∇×E⃗=−iωB⃗∇×H⃗=J⃗−iωD⃗∇⋅D⃗=ρ∇⋅B⃗=0\begin{aligned} &\nabla \times \vec{E} = -i\omega \vec{B} \\ &\nabla \times \vec{H} = \vec{J} - i\omega \vec{D} \\ &\nabla \cdot \vec{D} = \rho \\ &\nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{aligned} ∇×E=−iωB∇×H=J−iωD∇⋅D=ρ∇⋅B=0 复数Poynting矢量 S⃗~=12E⃗×H⃗∗\widetilde{\vec{S}} = \frac{1}{2}\vec{E}...
电磁场与波（7）：静磁场和时变问题
*磁矢势 ∇⋅B⃗=0⇒B⃗=∇×A⃗\nabla \cdot \vec{B} = 0 \Rightarrow \vec{B} = \nabla \times \vec{A} ∇⋅B=0⇒B=∇×A ∇×B⃗=μJ⃗∇×(∇×A⃗)=μJ⃗∇(∇⋅A⃗)−∇A⃗=μ0J⃗\begin{aligned} \nabla \times \vec{B} &= \mu \vec{J} \\ \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) &= \mu \vec{J}\\ \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla \vec{A} &= \mu_0 \vec{J} \end{aligned} ∇×B∇×(∇×A)∇(∇⋅A)−∇A=μJ=μJ=μ0J 附加约束：∇⋅A⃗=0\nabla \cdot \vec{A} = 0∇⋅A=0，Coulomb规范 全空间： A⃗=μ4π∫J⃗(x⃗′)rdV′\vec{A} = \frac{\mu}{4\pi} \int...
电磁场与波：期中复习
向量运算 二重向量积 a⃗×(b⃗×c⃗)=b⃗(a⃗⋅c⃗)−c⃗(a⃗⋅b⃗)\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b}) a×(b×c)=b(a⋅c)−c(a⋅b) (a⃗×b⃗)×c⃗=b⃗(a⃗⋅c⃗)−a⃗(b⃗⋅c⃗)(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c}) (a×b)×c=b(a⋅c)−a(b⋅c) Green恒等式 第一恒等式： ∫V(φ∇2ψ−∇φ∇ψ)dV=∫Sϕ∇ψdS\int_V (\varphi \nabla^2 \psi - \nabla \varphi \nabla \psi) dV = \int_S \phi \nabla \psi...
电磁场与波（6）：进一步分离变量
直角坐标系分离变量 求解如下边值问题： 在一沿xyz轴长度分别为abc的长方体中，只有一个面上电势不为零 ∇2φ=0φ∣z=c=f(x,y)φx=0=φx=a=0φy=0=φy=b=0φz=0=0\begin{aligned} &\nabla^2 \varphi = 0 \\ &\varphi |_{z=c} = f(x,y)\\ &\varphi_{x=0} = \varphi_{x=a} = 0\\ &\varphi_{y=0} = \varphi_{y=b} = 0\\ &\varphi_{z=0} = 0 \end{aligned} ∇2φ=0φ∣z=c=f(x,y)φx=0=φx=a=0φy=0=φy=b=0φz=0=0 解：考虑如下可分离变量的形式的解 φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)\varphi(x,y,z) =...