*磁矢势

∇⋅B⃗=0⇒B⃗=∇×A⃗\nabla \cdot \vec{B} = 0 \Rightarrow \vec{B} = \nabla \times \vec{A}

∇×B⃗=μJ⃗∇×(∇×A⃗)=μJ⃗∇(∇⋅A⃗)−∇A⃗=μ0J⃗\begin{aligned} \nabla \times \vec{B} &= \mu \vec{J} \\ \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) &= \mu \vec{J}\\ \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla \vec{A} &= \mu_0 \vec{J} \end{aligned}

附加约束：∇⋅A⃗=0\nabla \cdot \vec{A} = 0，Coulomb规范
全空间：

A⃗=μ4π∫J⃗(x⃗′)rdV′\vec{A} = \frac{\mu}{4\pi} \int \frac{\vec{J}(\vec{x}')}{r}dV'

∇2A⃗=−μJ⃗\nabla^2 \vec{A} = -\mu \vec{J}

磁矢势边值关系：
B⃗=∇×A⃗,B⃗=μH⃗\vec{B} = \nabla \times \vec{A},\vec{B} = \mu \vec{H}

n^×(H⃗1−H⃗2)=J⃗Sn^⋅(B⃗2−B⃗1)=0\begin{aligned} &\hat{n} \times (\vec{H}_1 - \vec{H}_2) = \vec{J}_S \\ &\hat{n} \cdot (\vec{B}_2 - \vec{B}_1) = 0 \end{aligned}

也就是

等待补充\begin{aligned} \text{等待补充} \end{aligned}

*磁场能量

能量密度：Wm=B⃗⋅H⃗2=μ2H2W_m = \frac{\vec{B} \cdot \vec{H}}{2} = \frac{\mu}{2} H^2
总能量：W=∫μ2H2dV=12∫J⃗⋅A⃗dVW = \int \frac{\mu}{2} H^2 dV = \frac{1}{2} \int \vec{J} \cdot \vec{A} dV

*磁标势

在自由电流为0的单连通区域

∇×H⃗=Jf⃗=0⇒H⃗=−∇φm\nabla \times \vec{H} = \vec{J_f} = 0 \Rightarrow \vec{H} = -\nabla \varphi_m

这里的φm\varphi_m被称为磁标势

H⃗=B⃗μ0−M⃗\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}

∇⋅H⃗=∇⋅B⃗μ0−∇⋅M⃗=ρmμ0\nabla \cdot \vec{H} = \frac{\nabla \cdot \vec{B}}{\mu_0} - \nabla \cdot \vec{M} = \frac{\rho_m}{\mu_0}

这里的ρm\rho_m是假想磁荷密度

∇2φm=−ρmμ0\nabla^2 \varphi_m = -\frac{\rho_m}{\mu_0}

ρm=−μ∇⋅M⃗\rho_m = -\mu \nabla \cdot \vec{M}

静电场和静磁场的对比

静电场(ρf=0\rho_f = 0) 静磁场(Jf⃗=0\vec{J_f} = 0)
∇⋅E⃗=0\nabla \cdot \vec{E} = 0 ∇⋅H⃗=0\nabla \cdot \vec{H} = 0
∇⋅E⃗=ρpε0\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho_p}{\varepsilon_0} ∇⋅H⃗=ρmμ0\nabla \cdot \vec{H} = \frac{\rho_m}{\mu_0}
E⃗=−∇φ\vec{E} = -\nabla \varphi H⃗=−∇φm\vec{H} = -\nabla \varphi_m
∇2φ=−ρpε0\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho_p}{\varepsilon_0} ∇2φm=−ρmμ0\nabla^2 \varphi_m = -\frac{\rho_m}{\mu_0}
ρP=−∇⋅P⃗\rho_P = -\nabla \cdot \vec{P} ρm=−∇⋅(μ0M⃗)\rho_m = -\nabla \cdot (\mu_0\vec{M})
ρSP=(P⃗1−P⃗2)⋅n^\rho_{SP} = (\vec{P}_1 - \vec{P}_2) \cdot \hat{n} ρSM=μ0(M⃗1−M⃗2)⋅n^\rho_{SM} = \mu_0(\vec{M}_1 - \vec{M}_2) \cdot \hat{n}
φ1=φ2\varphi_1 = \varphi_2且∂φ2∂n−∂φ1∂n=−ρSPε0\frac{\partial\varphi_2}{\partial n} -\frac{\partial\varphi_1}{\partial n} = -\frac{\rho_{SP}}{\varepsilon_0} m1⃗=m2⃗\vec{m_1} = \vec{m_2}且∂m2⃗∂n−∂m1⃗∂n=−ρSMμ0\frac{\partial \vec{m_2}}{\partial n} - \frac{\partial \vec{m_1}}{\partial n} = -\frac{\rho_{SM}}{\mu_0}

也就是说我们有如下的关系

H⃗↔E⃗φm↔φρm↔ρpμ0↔ε0μ0M⃗↔P⃗\begin{aligned} \vec{H} &\leftrightarrow \vec{E} \\ \varphi_m &\leftrightarrow \varphi \\ \rho_m &\leftrightarrow \rho_p \\ \mu_0 &\leftrightarrow \varepsilon_0 \\ \mu_0 \vec{M} &\leftrightarrow \vec{P} \\ \end{aligned}

例题

考虑均匀带电薄球壳，半径为aa，面电荷密度为ρS\rho_S，绕轴匀速转动，角速度为ω\omega，求空间磁场
解：球坐标系下，球壳上面电流密度可以表示为

JS⃗=ρSωasin⁡θϕ^\vec{J_S} = \rho_S \omega a \sin \theta \hat{\phi}

考虑均匀磁化介质球，磁化面电流密度为

JSM⃗=M⃗×n^=Msin⁡θϕ^\vec{J_{SM}} = \vec{M} \times \hat{n} = M\sin \theta \hat{\phi}

在两种情况之间建立等效，对比可知
等价的磁化强度为

M⃗=ρSωaz^\vec{M} = \rho_S \omega a \hat{z}

利用对应关系：μ0M⃗=↔P⃗\mu_0\vec{M} = \leftrightarrow \vec{P}
球内有：

H⃗=−μ0M⃗3μ0\vec{H} = -\frac{\mu_0 \vec{M}}{3\mu_0}

B⃗=μ0H⃗=⋯\vec{B} = \mu_0 \vec{H} = \cdots

*电磁能流与Poynting实验

  • 电场能量：We=E⃗⋅D⃗2W_e = \frac{\vec{E}\cdot \vec{D}}{2}
  • 磁场能量：Wm=B⃗⋅H⃗2W_m = \frac{\vec{B}\cdot \vec{H}}{2}
  • 电荷动能：WvW_v
  • 总能量：W=We+Wm+WvW = W_e + W_m + W_v

能流矢量：S⃗\vec{S}
根据能量守恒

∮SS⃗⋅dS⃗=−ddt∫VWdV\oint_S \vec{S} \cdot d\vec{S} = -\frac{d}{dt}\int_V W dV

根据Gauss定理

∫V∇⋅S⃗dV=∫V∂W∂tdV\int_V \nabla \cdot \vec{S} dV = \int_V \frac{\partial W}{\partial t} dV

由V的任意性可知

∇⋅S⃗=−∂W∂t\nabla \cdot \vec{S} = -\frac{\partial W}{\partial t}

−∇⋅S⃗=∂∂t(We+Wm)+∂∂tWv=∂∂t(We+Wm)+F⃗⋅v⃗=∂∂t(We+Wm)+(ρE⃗+ρv⃗×B⃗)⋅v⃗=∂∂t(E⃗⋅D⃗2+B⃗⋅H⃗2)+ρE⃗⋅v⃗\begin{aligned} -\nabla \cdot \vec{S} &= \frac{\partial}{\partial t}(W_e + W_m) + \frac{\partial}{\partial t} W_v\\ &= \frac{\partial}{\partial t}(W_e + W_m) + \vec{F} \cdot \vec{v}\\ &= \frac{\partial}{\partial t}(W_e + W_m) + (\rho \vec{E} + \rho \vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v}\\ &= \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\vec{E} \cdot \vec{D}}{2} + \frac{\vec{B} \cdot \vec{H}}{2}) + \rho \vec{E} \cdot \vec{v} \end{aligned}

分开计算

∂∂tE⃗⋅D⃗2=E⃗2⋅∂D⃗∂t+D⃗2⋅∂E⃗∂t=εE⃗2⋅∂E⃗∂t+ε2E⃗⋅∂E⃗∂t=εE⃗⋅∂E⃗∂t=E⃗⋅∂D⃗∂t\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} \frac{\vec{E} \cdot \vec{D}}{2} &= \frac{\vec{E}}{2} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + \frac{\vec{D}}{2} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\\ &= \varepsilon \frac{\vec{E}}{2} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{\varepsilon}{2} \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\\ &= \varepsilon \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{aligned}

−∇⋅S⃗=E⃗⋅∂D⃗∂t+B⃗⋅∂H⃗∂t+E⃗⋅J⃗=E⃗⋅(∇×H⃗−J⃗)−H⃗⋅(∇×E⃗)+E⃗⋅J⃗=E⃗⋅(∇H×H⃗)−H⃗⋅(∇E×E⃗)=−∇H⋅(E⃗×H⃗)−∇E⋅(E⃗×H⃗)=−∇⋅(E⃗×H⃗)\begin{aligned} -\nabla \cdot \vec{S} &= \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + \vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} + \vec{E} \cdot \vec{J} \\ &= \vec{E} \cdot (\nabla \times \vec{H} - \vec{J}) - \vec{H}\cdot (\nabla \times \vec{E}) + \vec{E} \cdot \vec{J}\\ &= \vec{E} \cdot (\nabla_H \times \vec{H} )- \vec{H}\cdot (\nabla_E \times \vec{E}) \\ &= -\nabla_H \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) - \nabla_E \cdot (\vec{E} \times \vec{H})\\ &= -\nabla \cdot (\vec{E} \times \vec{H}) \end{aligned}

定义S⃗=E⃗×H⃗\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}为电磁能流密度，也叫做Poynting矢量

−∇⋅S⃗=∂∂t(We+Wm)+E⃗⋅J⃗-\nabla \cdot \vec{S} = \frac{\partial}{\partial t}(W_e + W_m) + \vec{E} \cdot \vec{J}

被称为Poynting定理
积分形式：

−∮SS⃗⋅dS⃗=ddt∫V(We+Wm)dV+∫VE⃗⋅J⃗dV-\oint_S \vec{S} \cdot d\vec{S} = \frac{d}{dt}\int_V (W_e + W_m) dV + \int_V \vec{E} \cdot \vec{J} dV

*频域的Maxwell方程组（原来还有这种东西）

Fourier变换：E⃗(x⃗,ω)=∫−∞∞E⃗(x⃗,t)eiωtdt\vec{E}(\vec{x},\omega) = \int^{\infty}_{-\infty} \vec{E}(\vec{x},t) e^{i\omega t} dt
Fourier反变换：E⃗(x⃗,t)=12π∫−∞∞E⃗(x⃗,ω)e−iωtdω\vec{E}(\vec{x},t) = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} \vec{E}(\vec{x},\omega) e^{-i\omega t} d\omega
（在这种Fourier变换下，时间导数变为−iω-i\omega）

变换后的Maxwell方程组：

∇×E⃗=iωB⃗∇×H⃗=J⃗−iωD⃗∇⋅D⃗=ρ∇⋅B⃗=0\begin{aligned} &\nabla \times \vec{E} = i\omega \vec{B}\\ &\nabla \times \vec{H} = \vec{J} - i\omega \vec{D}\\ &\nabla \cdot \vec{D} = \rho\\ &\nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{aligned}

本构关系

线性，各向同性，色散介质（无法单纯用ε\varepsilon描述介质性）：

D⃗(t)=∫−∞tE⃗(τ)ε(t−τ)dτ=E⃗(t)∗ε(t)\vec{D}(t) = \int^t_{-\infty} \vec{E}(\tau)\varepsilon(t-\tau) d \tau = \vec{E}(t) * \varepsilon(t)

D⃗(ω)=ε(ω)E⃗(ω)\vec{D}(\omega) = \varepsilon(\omega) \vec{E}(\omega)

同理可得

B⃗(ω)=μ(ω)H⃗(ω)\vec{B}(\omega) = \mu(\omega) \vec{H}(\omega)

边值关系

n^×(E⃗2−E⃗1)=0n^×(H⃗2−H⃗1)=J⃗Sn^⋅(D⃗2−D⃗1)=ρSn^⋅(B⃗2−B⃗1)=0\begin{aligned} &\hat{n} \times (\vec{E}_2 - \vec{E}_1) = 0 \\ &\hat{n} \times (\vec{H}_2 - \vec{H}_1) = \vec{J}_S \\ &\hat{n} \cdot (\vec{D}_2 - \vec{D}_1) = \rho_S \\ &\hat{n} \cdot (\vec{B}_2 - \vec{B}_1) = 0 \end{aligned}

形式一模一样，内部变量变换到频域上

*时谐场

具有某一固定振荡频率的场

E⃗(x⃗,t)=[E1(x⃗)cos⁡[ωt+ϕ1(x⃗)]E2(x⃗)cos⁡[ωt+ϕ2(x⃗)]E3(x⃗)cos⁡[ωt+ϕ3(x⃗)]]=12{[E1(x⃗)e−ϕ1(x⃗)E2(x⃗)e−ϕ2(x⃗)E3(x⃗)e−ϕ3(x⃗)]e−iωt+CC}=Re{E⃗(x⃗)e−iωt}\vec{E}(\vec{x},t) = \left[\begin{matrix} E_1(\vec{x})\cos [\omega t + \phi_1(\vec{x})] \\ E_2(\vec{x})\cos [\omega t + \phi_2(\vec{x})] \\ E_3(\vec{x})\cos [\omega t + \phi_3(\vec{x})] \\ \end{matrix}\right] = \frac{1}{2} \left\{\left[\begin{matrix} E_1(\vec{x}) e^{-\phi_1(\vec{x})} \\ E_2(\vec{x}) e^{-\phi_2(\vec{x})} \\ E_3(\vec{x}) e^{-\phi_3(\vec{x})} \\ \end{matrix}\right] e^{-i\omega t} + CC \right\} = Re\left\{\vec{E}(\vec{x}) e^{-i\omega t}\right\}

其中

E⃗(x⃗)=[E1(x⃗)e−ϕ1(x⃗)E2(x⃗)e−ϕ2(x⃗)E3(x⃗)e−ϕ3(x⃗)]\vec{E}(\vec{x}) = \left[\begin{matrix} E_1(\vec{x}) e^{-\phi_1(\vec{x})} \\ E_2(\vec{x}) e^{-\phi_2(\vec{x})} \\ E_3(\vec{x}) e^{-\phi_3(\vec{x})} \\ \end{matrix}\right]

为复振幅
时谐场复指数表示形式：E⃗(x⃗,t)=E⃗(x⃗)e−iωt\vec{E}(\vec{x},t) = \vec{E}(\vec{x}) e^{-i\omega t}
瞬时值形式：Re{E⃗(x,t⃗)}Re\left\{\vec{E}(\vec{x,t}) \right\}

*复数的Poynting定理

对于时谐场：

S⃗=E⃗×H⃗=12[E⃗(x⃗)e−iωt+E⃗∗(x⃗)eiωt]×12[H⃗(x⃗)e−iωt+H⃗∗(x⃗)eiωt]=14[E⃗×H⃗e−i2ωt+E⃗×H⃗∗+E⃗∗×H⃗+E⃗∗×H⃗∗ei2ωt]\begin{aligned} \vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} &= \frac{1}{2} \left[\vec{E}(\vec{x}) e^{-i\omega t} + \vec{E}^*(\vec{x}) e^{i\omega t}\right] \times \frac{1}{2} \left[\vec{H}(\vec{x}) e^{-i\omega t} + \vec{H}^*(\vec{x}) e^{i\omega t}\right]\\ &= \frac{1}{4} \left[\vec{E}\times \vec{H} e^{-i2\omega t} + \vec{E}\times \vec{H}^* +\vec{E}^* \times \vec{H} + \vec{E}^* \times \vec{H}^* e^{i2\omega t}\right]\\ \end{aligned}

在一个周期[0,T](T=2πω)[0,T](T = \frac{2\pi}{\omega})内求平均

⟨S⃗⟩=12Re{E⃗×H⃗∗}\begin{aligned} \langle \vec{S} \rangle &= \frac{1}{2} Re\left\{\vec{E} \times \vec{H}^*\right\}\\ \end{aligned}

定义复数Poynting矢量

S⃗~=12E⃗×H⃗∗\widetilde{\vec{S}} = \frac{1}{2} \vec{E} \times \vec{H}^*

那么

⟨S⃗⟩=Re{S⃗~}\langle \vec{S} \rangle = Re\left\{\widetilde{\vec{S}}\right\}