向量运算

二重向量积

a⃗×(b⃗×c⃗)=b⃗(a⃗⋅c⃗)−c⃗(a⃗⋅b⃗)\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})

(a⃗×b⃗)×c⃗=b⃗(a⃗⋅c⃗)−a⃗(b⃗⋅c⃗)(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})

Green恒等式

第一恒等式：

∫V(φ∇2ψ−∇φ∇ψ)dV=∫Sϕ∇ψdS\int_V (\varphi \nabla^2 \psi - \nabla \varphi \nabla \psi) dV = \int_S \phi \nabla \psi dS

第二恒等式：

∫V(φ∇2ψ−ψ∇2φ)dV=∫S(φ∇ψ−ψ∇φ)dS\int_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi) dV = \int_S (\varphi \nabla \psi - \psi \nabla \varphi) dS

电流连续性方程

∇⋅j⃗+∂ρ∂t=0\nabla \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

课上复习

*介质中Maxwell方程组

∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×H⃗=j⃗+∂D⃗∂t∇⋅D⃗=ρ∇⋅B⃗=0\begin{aligned} &\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ &\nabla \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ &\nabla \cdot \vec{D} = \rho \\ &\nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{aligned}

简单介质本构关系：

D⃗=εE⃗B⃗=μH⃗\begin{aligned} &\vec{D} = \varepsilon \vec{E} \\ &\vec{B} = \mu \vec{H} \end{aligned}

*边值关系

n^×(E⃗2−E⃗1)=0n^×(H⃗2−H⃗1)=K⃗Sn^⋅(D⃗2−D⃗1)=ρSn^⋅(B⃗2−B⃗1)=0\begin{aligned} &\hat{n} \times (\vec{E}_2 - \vec{E}_1) = 0 \\ &\hat{n} \times (\vec{H}_2 - \vec{H}_1) = \vec{K}_S \\ &\hat{n} \cdot (\vec{D}_2 - \vec{D}_1) = \rho_S \\ &\hat{n} \cdot (\vec{B}_2 - \vec{B}_1) = 0 \end{aligned}

*电荷和电流

点电荷：

ρ(x⃗)=qδ(x⃗−x⃗′)∇⋅r⃗r3=4πδ(r⃗)∇21r=−4πδ(r⃗)\begin{aligned} &\rho(\vec{x}) = q \delta(\vec{x} - \vec{x}') \\ &\nabla \cdot \frac{\vec{r}}{r^3} = 4\pi \delta(\vec{r})\\ &\nabla^2 \frac{1}{r} = -4\pi \delta(\vec{r}) \end{aligned}

电流密度：j⃗=ρv⃗\vec{j} = \rho \vec{v}
电流连续性方程：∇⋅j⃗+∂ρ∂t=0\nabla \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0
极化体电荷：ρp=−∇⋅P⃗\rho_p = -\nabla \cdot \vec{P}
极化面电荷：ρSP=(P⃗1−P⃗2)⋅n^\rho_{SP} = (\vec{P}_1 - \vec{P}_2) \cdot \hat{n}
磁化体电荷：J⃗m=∇×M⃗\vec{J}_m = \nabla \times \vec{M}
磁化面电流：J⃗SM=(M⃗1−M⃗2)×n^\vec{J}_{SM} = (\vec{M}_1 - \vec{M}_2) \times \hat{n}

*电磁场力

点电荷：F⃗=qE⃗+qv⃗×B⃗\vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v} \times \vec{B}
体元：dF⃗=ρE⃗dv+J⃗×B⃗dvd\vec{F} = \rho\vec{E}dv + \vec{J} \times \vec{B} dv

*静电场

物理量之间的关系

TODO：插图

静电势多级展开

φ(x⃗)=14πε0∫ρ(x′⃗)rdV′=φ(0)+φ(1)+φ(2)+⋯\varphi(\vec{x}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{x'})}{r}dV' = \varphi^{(0)} + \varphi^{(1)} + \varphi^{(2)} + \cdots

第二个等号在∣x⃗∣>>∣x⃗′∣|\vec{x}| >> |\vec{x}'|时成立
零阶项：点电荷

φ(0)=14πε0QR,Q=∫ρ(x′⃗)dV′\varphi^{(0)} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}, Q = \int \rho(\vec{x'}) dV'

一阶项：电偶极子

φ(1)=14πε0p⃗⋅r⃗r3,p⃗=∫ρ(x′⃗)x′⃗dV′\varphi^{(1)} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}, \vec{p} = \int \rho(\vec{x'}) \vec{x'} dV'

二阶项：电四极子

φ(2)=14πε016∑i,jDij∂2∂xi∂xj1R\varphi^{(2)} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{6} \sum_{i,j} D_{ij}\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} \frac{1}{R}

其中Dij=∫ρ(x′⃗)(3xi′xj′−R′2δij)dV′D_{ij} = \int \rho(\vec{x'}) (3x'_i x'_j - R'^2 \delta_{ij}) dV'

静电势边值关系

φ1=φ2−ε2∂φ2∂n+ε1∂φ1∂n=ρS\begin{aligned} &\varphi_1 = \varphi_2 \\ &-\varepsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n} + \varepsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n} = \rho_S \end{aligned}

唯一性定理

∇2φ=−ρε0\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}，然后边界条件φ∣S\varphi|_S或者∂φ∂n∣S\frac{\partial\varphi}{\partial n}|_S中至少有一个给定
导体表面：

φ∣S=const∮∂φ∂ndS=−Qε\begin{aligned} \varphi|_S = \text{const} \\ \oint \frac{\partial \varphi}{\partial n} dS = -\frac{Q}{\varepsilon} \end{aligned}

镜像法

懒得写了

分离变量法（直角+球）（必考）

Green函数法

静电场能量（必考）

密度：We=12E⃗⋅D⃗2=ε2E2W_e = \frac{1}{2} \frac{\vec{E} \cdot \vec{D}}{2} = \frac{\varepsilon}{2} E^2