矢量分析

叉乘（外积）

a⃗×b⃗=c⃗=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| \\

叉乘的结果有如下性质

∣c⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ|\vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \\

也就是说，叉乘的结果是垂直于两个向量的一个向量，其大小等于两个向量围成的平行四边形的面积，其方向由右手法则确定。

另外还有

a⃗×b⃗=0⇔a⃗∥b⃗\vec{a} \times \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \parallel \vec{b} \\

混合积

(a⃗×b⃗)⋅c⃗=∣axayazbxbybzcxcycz∣a⃗×(b⃗×c⃗)=b⃗⋅(c⃗×a⃗)=c⃗⋅(a⃗×b⃗)=(a⃗,b⃗,c⃗)(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \left|\begin{array}{ccc} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{array}\right| \\ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) \\

混合积可以循环改变位置，即

(a⃗,b⃗,c⃗)=(b⃗,c⃗,a⃗)=(c⃗,a⃗,b⃗)(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{b},\vec{c},\vec{a}) = (\vec{c},\vec{a},\vec{b}) \\

他的结果在几何上等于三个向量张成的平行六面体的体积。
类似的考虑混合积为0的情况，可以得到

(a⃗,b⃗,c⃗)=0⇔a⃗,b⃗,c⃗共面(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = 0 \Leftrightarrow \vec{a},\vec{b},\vec{c} \text{共面} \\

二重矢量积

a⃗×(b⃗×c⃗)=b⃗(a⃗⋅c⃗)−c⃗(a⃗⋅b⃗)(a⃗×b⃗)×c⃗=b⃗(a⃗⋅c⃗)−a⃗(b⃗⋅c⃗)\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b}) \\ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c}) \\

微积分运算

f(x,y,z)=f(x⃗)f(x,y,z) = f(\vec{x})是一个标量场
F⃗(x,y,z)=F⃗(x⃗)\vec{F}(x,y,z) = \vec{F}(\vec{x})是一个矢量场
矢量微分算符为

∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)=i⃗∂∂x+j⃗∂∂y+k⃗∂∂z\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)= \vec{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial}{\partial z}

标量场的梯度

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=i⃗∂f∂x+j⃗∂f∂y+k⃗∂f∂z\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right) = \vec{i}\frac{\partial f}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial f}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial f}{\partial z}

方向导数：

∂f∂l=∇f⋅l⃗=∣∇f∣∣l⃗∣cos⁡θ\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot \vec{l} = |\nabla f||\vec{l}|\cos\theta

矢量场的散度

∇⋅F⃗=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Gauss定理：

∮SF⃗⋅n⃗dS=∬V∇⋅F⃗dV\oint_S \vec{F} \cdot \vec{n}dS = \iint_V \nabla \cdot \vec{F}dV

矢量场的旋度

∇×F⃗=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz∣\nabla \times \vec{F} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{array}\right|

Stokes定理：

∮CF⃗⋅dl⃗=∬S(∇×F⃗)⋅n⃗dS\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n}dS

梯度场的旋度一定为0

∇×(∇f)=0\nabla \times (\nabla f) = 0

如果 ∇×F⃗=0\nabla \times \vec{F} = 0，则F⃗=−∇φ\vec{F} = -\nabla \varphi，即F⃗\vec{F}是一个梯度场。

旋度场的散度一定为0

∇⋅(∇×F⃗)=0\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0

如果 ∇⋅F⃗=0\nabla \cdot \vec{F} = 0，则F⃗=∇×A⃗\vec{F} = \nabla \times \vec{A}，即F⃗\vec{F}是一个旋度场。

Helmhotz定理

F⃗=∇φ+∇×A⃗\vec{F} = \nabla \varphi + \nabla \times \vec{A}

略去上一定理对后续学习无太大影响

Green恒等式

第一恒等式（∇2=∇⋅∇\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla）

∫v(φ∇2ψ+∇ψ∇φ)dV=∮Sφ∇ψdS⃗\int_v (\varphi \nabla^2 \psi + \nabla \psi \nabla \varphi)dV = \oint_S \varphi \nabla \psi d \vec{S}

第二恒等式

∫v(φ∇2ψ−ψ∇2φ)dV=∮S(φ∇ψ−ψ∇φ)⋅dS⃗\int_v (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)dV = \oint_S (\varphi \nabla \psi - \psi \nabla \varphi) \cdot d\vec{S}

∇\nabla运算规则

  1. 判断标量、矢量
  2. 先考虑∇\nabla微分性，进行分解
    确定∇\nabla的作用对象（常量不参与微分）
  3. 再考虑∇\nabla的矢量性，进行变换（标量可以任意移动位置）
  4. 整理结果，∇\nabla写在作用对象前面
    例：

∇⋅(A⃗×B⃗)=∇a⋅(A⃗×B⃗)+∇b⋅(A⃗×B⃗)=(∇A×A⃗)⋅B⃗+A⃗⋅(∇B×B⃗)=B⃗⋅(∇×A⃗)−A⃗⋅(∇×B⃗)\begin{aligned} \nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) &= \nabla_a \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) + \nabla_b \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) \\ &= (\nabla_A \times \vec{A}) \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot (\nabla_B \times \vec{B}) \\ &= \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B}) \end{aligned}