方程形式

位势方程主要是说

−Δu=f-\Delta u=f

其中Δ=∑i=1d∂2∂xi2\Delta = \sum^{d}_{i=1} \frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}是Laplace算子，d为空间维数，f是源项，当f=0的时候方程又被称为Laplace方程或者调和方程。

Green公式和基本解

Green公式是说：

证明：由于

uΔv=u(∇⋅∇v)=∇⋅(u∇v)−∇u⋅∇vu \Delta v = u(\nabla \cdot \nabla v) = \nabla \cdot(u \nabla v) - \nabla u \cdot \nabla v

（直接拆开就能得到）
所以有

uΔv−vΔu=∇⋅(u∇v−v∇u)u \Delta v - v \Delta u = \nabla \cdot(u \nabla v - v \nabla u)

对两边在Ω\Omega进行积分，再利用Green公式

∬Ω∇⋅dx=∫∂Ωu⋅ndl\iint_{\Omega} \nabla \cdot \mathrm{dx} = \int_{\partial \Omega}u \cdot n \mathrm{d}l

得到证明。

利用上面的结论可以得到二维Laplace方程的基本解为

Γ(x,y;ξ,η)=12πln⁡1(x−ξ)2+(y−η)2\Gamma(x,y;\xi,\eta)= \frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{\sqrt{ (x-\xi)^2 + (y-\eta)^{2} }}

证明：
我们把解带入Laplace方程在数学上的严格形式
由于Γ\Gamma在(x,y)=(ξ,η)(x,y) = (\xi,\eta)时有奇性，因此考虑区域

Ωϵ=(x,y)∈R2∣ϵ\Omega_{\epsilon} = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | \epsilon}

对任意测试函数

φ(x,y)=−∬R2Γ(x,y;ξ,η)Δφdxdy=−lim⁡ϵ→0+∬ΩϵΓ(x,y;ξ,η)Δdxdy=−lim⁡ϵ→0+∬ΩϵφΔΓ(x,y;ξ,η)dxdy+lim⁡ϵ→0+∫∂Ωϵ(φ∂Γ∂n−Γ∂φ∂n)dl\begin{align} \varphi(x,y) &= -\iint_{\mathbb{R}^{2}}\Gamma(x,y;\xi,\eta)\Delta \varphi \mathrm{dxdy} = -\lim_{ \epsilon \to 0^+ }\iint_{\Omega_{\epsilon}}\Gamma(x,y;\xi,\eta)\Delta \mathrm{dxdy} \\ &=-\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \iint_{\Omega_{\epsilon}}\varphi \Delta \Gamma(x,y;\xi,\eta)\mathrm{dxdy}+\lim_{ \epsilon \to 0^+ } \int_{\partial \Omega_{\epsilon}} \left( \varphi\frac{\partial\Gamma}{\partial n} - \Gamma\frac{\partial\varphi}{\partial n} \right)\mathrm{dl} \end{align}

在解决位势方程之前，我们还要引入一个简单定理作为基础
设∂Ω\partial \Omega分段光滑，u∈C2(Ω)∩C1(Ω‾)u \in C^2(\Omega) \cap C^1(\overline{\Omega})，有

u(ξ,η)=−∬ΩΓΔudxdy+∫∂Ω(Γ∂u∂n−∂Γ∂nu)u(\xi,\eta) = -\iint_{\Omega}\Gamma \Delta u \mathrm{dxdy} + \int_{\partial \Omega}\left( \Gamma \frac{ \partial u }{ \partial n } - \frac{ \partial \Gamma }{ \partial n } u \right)

证明：直接用Green公式有

∬Ω(uΔΓ−ΓΔu)dxdy=∫∂Ω(u∂Γ∂n−Γ∂u∂n)dl\iint_{\Omega}(u \Delta \Gamma - \Gamma \Delta u)\mathrm{dxdy} = \int_{\partial \Omega}\left( u \frac{ \partial \Gamma }{ \partial n } - \Gamma \frac{ \partial u }{ \partial n } \right)\mathrm{d l}

Green函数

引入辅助函数g(x,y;ξ,η)g(x,y;\xi,\eta)，使得

Δ(x,y)g(x,y;ξ,η)=0\Delta_{(x,y)} g(x,y;\xi,\eta)=0