数理方程（4）：位势方程和Green函数法
方程形式 位势方程主要是说 −Δu=f-\Delta u=f −Δu=f 其中Δ=∑i=1d∂2∂xi2\Delta = \sum^{d}_{i=1} \frac{\partial^2}{\partial x_{i}^2}Δ=∑i=1d∂xi2∂2是Laplace算子，d为空间维数，f是源项，当f=0的时候方程又被称为Laplace方程或者调和方程。 Green公式和基本解 Green公式是说： 证明：由于 uΔv=u(∇⋅∇v)=∇⋅(u∇v)−∇u⋅∇vu \Delta v = u(\nabla \cdot \nabla v) = \nabla \cdot(u \nabla v) - \nabla u \cdot \nabla v uΔv=u(∇⋅∇v)=∇⋅(u∇v)−∇u⋅∇v （直接拆开就能得到） 所以有 uΔv−vΔu=∇⋅(u∇v−v∇u)u \Delta v - v \Delta u = \nabla \cdot(u \nabla v - v \nabla...
数理方程（五）分离变量法
终于讲到大杀器了，为什么不早点讲啊 基本思路 大概就是说，我们可以简单认为之前的几种PDE的解具有如下形式 u(x,t)=X(x)T(t)u(x,t) = X(x)T(t) u(x,t)=X(x)T(t) 代回方程能够得到（比如一维波动方程） X(x)T′′(t)−a2X′′(x)T(t)=0X(x)T''(t) - a^2 X''(x)T(t) = 0 X(x)T′′(t)−a2X′′(x)T(t)=0 不妨转化为下面的形式 T′′(t)a2T(t)=X′′(x)X(x)=−λ\frac{T''(t)}{a^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda a2T(t)T′′(t)=X(x)X′′(x)=−λ λ\lambdaλ应该是固定的，所以解下面的特征值问题 X′′(x)+λX(x)=0X''(x) + \lambda X(x) =...
数理方程（3）：热传导方程和积分变换初步
一维初值问题 解方程 考虑一维热传导方程初值问题 ∂tu−a2∂xxu=f(x,t)u(x,0)=φ(x)\partial_{t} u - a^2\partial_{x x}u = f(x,t)\\ u(x,0) = \varphi (x) ∂tu−a2∂xxu=f(x,t)u(x,0)=φ(x) 对u，在x上做傅立叶变换 u(x,t)→Fu^(x,t),∂xxu^=(iω)2u^u(x,t) \stackrel{\mathcal{F}}{\rightarrow} \hat{u}(x,t), \partial_{x x}\hat{u} = (i \omega)^2\hat{u} u(x,t)→Fu^(x,t),∂xxu^=(iω)2u^ 那么偏微分方程被我们转换成为了 ∂tu^+a2ω2u^=f^(ω,t)u^(x,0)=φ^(x)\partial_{t} \hat{u} + a^2 \omega^2 \hat{u} = \hat{f}(\omega,t)\\ \hat{u}(x,0) =...
数理方程（二）波动方程的延续
D’Alembert公式的解释 先复习一下D’Alembert公式 u(x,t)=12(φ(x+at)+φ(x−at))+12a∫x−atx+atψ(ξ)dξu(x,t) = \frac{1}{2}(\varphi(x+at)+\varphi(x-at))+\frac{1}{2a}\int^{x+at}_{x-at}\psi(\xi)\rm d...
电子电路与系统基础（2）：（二）大信号放大器
高增益放大器 最初步的肯定是我们之前学过的小信号放大器。 将晶体管反相器偏置在工作电压处，提供极大的交流电阻，以获得高电压增益。能够实现Av0=−gm(rds1∥rds2)A_{v_0}= -g_m(r_{ds1}\parallel...
数理方程学习笔记（一）：波动方程初步
特征线法 常系数运输方程初值问题 对于方程 ∂tρ+a∂xρ=0,x∈R,t>0\partial_t \rho + a \partial_x \rho = 0, x \in \mathbb{R}, t > 0 ∂tρ+a∂xρ=0,x∈R,t>0 给定初值条件 ρ(x,0)=ρ0(x)\rho(x,0) = \rho_0(x) ρ(x,0)=ρ0(x) 我们发现在特征线上，ρ\rhoρ 保持不变，然后通过特征线反推每一点ρ\rhoρ的值 具体而言是这样的，特征线是下面的常微分方程初值问题的解 dxdt=a,x(0)=x0\frac{\rm{d}x}{\rm{d}t} = a, x(0) = x_0 dtdx=a,x(0)=x0 其实这条线就是x(t,x0)=at+x0x(t,x_0) = at + x_0x(t,x0)=at+x0，但是写成微分形式其实是为了下面的推导 根据全微分公式 df=∂f∂xdx+∂f∂tdt\rm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x} \rm{d}x + \frac{\partial...
电子电路与系统基础复习（1）二端口网络参量：一切故事的开始
网络参量的引入 对于一个电路系统来说，最朴素的认知是认为系统分别有输入输出两个端口，因此对二端口网络的描述是最为重要并且基础的。 我们所能直接测量的无非网络的电流和电压，两个端口也就是两组电流和电压，对于线性网络来说，我们很容易能够列出来四个变量组成的二元一次方程组 比如对如图所示的二端口网络，我们可以列出如下的方程组 v1=(R1+R2)i1+R2i2v2=R2i1+R2i2v_1 = (R_1+R_2)i_1 + R_2i_2 \\\\ v_2 = R_2i_1 + R_2i_2 v1=(R1+R2)i1+R2i2v2=R2i1+R2i2 矩阵形式也就是 [v1v2]=[R1+R2R2R2R2][i1i2]\begin{gathered} \begin{bmatrix} v_1 \\\\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1+R_2 & R_2 \\\\ R_2 & R_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\\\ i_2...
清华电子系数算 OJ 通关指北
写在基石前面 下面这段话来自于 NJU 计算机系统概论 PA 文档，值得一读。 基础设施 - 提高项目开发的效率 在PA中, 基础设施是指支撑项目开发的各种工具和手段. 原则上基础设施并不属于课本知识的范畴, 但是作为一个有一定规模的项目, 基础设施的好坏会影响到项目的推进, 甚至决定项目的成败, 这是你在程序设计课上体会不到的. 事实上, 你已经体会过基础设施给你带来的便利了. 我们的框架代码已经提供了Makefile来对NEMU进行一键编译. 假设我们并没有提供一键编译的功能, 你需要通过手动键入gcc命令的方式来编译源文件: 假设你手动输入一条gcc命令需要10秒的时间(你还需要输入很多编译选项, 能用10秒输入完已经是非常快的了), 而NEMU工程下有30个源文件, 为了编译出NEMU的可执行文件, 你需要花费多少时间? 然而你还需要在开发NEMU的过程中不断进行编译, 假设你需要编译500次NEMU才能完成PA, 一学期下来, 你仅仅花在键入编译命令上的时间有多少? 有的项目即使使用工具也需要花费较多时间来构建....